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Cómo determinar el número de segmentos que unen puntos

Problema típico de geometría: ¿cuántas rectas se pueden trazar a través de un conjunto de puntos en un plano, tomándolos de dos en dos? No tres puntos del conjunto pueden estar alineados. Ejemplo simple: tres puntos en una circunferencia. Claramente no forman una recta; ninguna recta pasa por los tres. Pero se pueden trazar tres rectas que pasen por dos puntos cada vez. Una fórmula sencilla lo resuelve.

Instrucciones

1. Dibuja o supón n puntos en un plano. Ningún trio está alineado. Queremos saber cuántas rectas pasan por dos puntos a la vez.
   Ejemplo: una circunferencia con ocho puntos, A a H.

2. Elige un punto y cuenta con cuántos otros puede emparejarse. Si hay n puntos, la respuesta es n-1. Son las rectas que pasan por ese primer punto y otro.
   En el ejemplo, A puede emparejarse con B, C, D, E, F, G, H: siete posibilidades.

3. Toma el siguiente punto. Su emparejamiento con el primero ya se contó, pero con los otros n-2 no. Suma n-2 al anterior n-1 como rectas posibles.
   En el ejemplo, B puede tener recta con C hasta H. No cuentes B-A (ya contado en paso 2). Rectas por B: seis.

4. Continúa el patrón sumando n-3, n-4, … hasta 1. La suma total es n-1 + n-2 + … + 1, igual a 1 + 2 + … + n-1. La fórmula para esa suma es n(n-1)/2.
   En el ejemplo, n=8 da 8×7/2 = 28 rectas. Verifícalo sumando 7+6+5+4+3+2+1 = 28. Coincide con el caso inicial n=3: 3×2/2 = 3 rectas.