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Anzahl der Verbindungsgeraden durch Punkte bestimmen

Ein häufiges Problem im Geometrieunterricht: Wie viele Geraden lassen sich durch eine Menge von Punkten in der Ebene ziehen, je zwei Punkte auf einmal? Keine drei Punkte dürfen auf einer Geraden liegen. Ein einfaches Beispiel: drei Punkte auf einem Kreis. Sie bilden keine Gerade; keine einzelne Gerade geht durch alle drei. Aber drei Geraden lassen sich ziehen, die jeweils zwei Punkte verbinden. Eine einfache Formel löst das Problem.

Anleitung

1. Zeichnen Sie n Punkte in eine Ebene (oder stellen Sie sie sich vor). Keine drei Punkte liegen auf einer Geraden. Gesucht: Anzahl der Geraden durch je zwei Punkte.
   Beispiel: Ein Kreis mit acht Punkten, bezeichnet A bis H.

2. Wählen Sie einen Punkt und bestimmen Sie, mit wie vielen anderen Punkten er ein Paar bilden kann. Bei n Punkten ist die Antwort n−1. Das ist die Anzahl der Geraden, die durch diesen ersten und einen weiteren Punkt verlaufen.
   Im Beispiel: A kann mit B, C, D, E, F, G, H verbunden werden – 7 Möglichkeiten.

3. Wählen Sie den nächsten Punkt. Seine Verbindung mit dem ersten Punkt wurde bereits gezählt, aber die Verbindungen mit den übrigen n−2 Punkten noch nicht. Addieren Sie n−2 zu Ihrer vorherigen Zahl n−1.
   Im Beispiel: B kann mit C bis H verbunden werden (6 Möglichkeiten). Die Verbindung B–A wurde schon in Schritt 2 gezählt.

4. Fahren Sie mit dem Muster fort: addieren Sie n−3, dann n−4 usw. Die Gesamtsumme ist n−1 + n−2 + n−3 + … + 1. Das entspricht der Summe 1 + 2 + 3 + … + n−1. Die Formel dafür ist n(n−1)/2.
   Im Beispiel: n=8 → 8·7/2 = 28 mögliche Geraden. Überprüfung: 7+6+5+4+3+2+1 = 28. Stimmt auch für n=3: 3·2/2 = 3 Geraden (wie in der Einleitung).