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Comment déterminer le nombre de segments de droite passant par des points

Un problème classique en géométrie : combien de droites peut-on tracer à travers un ensemble de points dans un plan, deux points à la fois ? Aucun trio de points ne doit être aligné. Exemple simple : trois points sur un cercle. Ils ne forment pas une ligne; aucune droite ne passe par les trois. Mais trois droites peuvent être tracées passant par deux points à la fois. Une formule simple résout le problème.

Instructions

1. Dessinez ou supposez n points dans un plan. Aucun trio n'est aligné. Vous voulez savoir combien de droites peuvent passer par deux points à la fois.
   Par exemple, un cercle avec huit points, notés A à H.

2. Choisissez un point et déterminez dans combien de paires il peut entrer. S'il y a n points, la réponse est n-1. C'est le nombre de droites passant par ce premier point et un autre.
   Dans l'exemple, A peut s'associer à B, C, D, E, F, G ou H. Soit 7 associations possibles.

3. Passez au point suivant. Son association avec le premier est déjà comptée, mais ses associations avec les n-2 autres points ne le sont pas. Ajoutez n-2 à votre précédent n-1 comme droites possibles.
   Dans l'exemple, B peut avoir une droite avec C à H. On ne compte pas B-A (déjà fait à l'étape 2). Donc 6 droites possibles par B.

4. Continuez le motif : ajoutez n-3, puis n-4, etc. La somme totale des droites possibles est n-1 + n-2 + n-3 + … + 1. C'est équivalent à 1 + 2 + 3 + … + n-1. La formule pour cette somme est n(n-1)/2.
   Dans l'exemple, n=8 donne 8×7/2 = 28 droites possibles. Vérifiez : 7 (étape 2) + 6 (étape 3) + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28. Cela correspond aussi au cas n=3 : 3×2/2 = 3 droites possibles.