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Como Determinar o Número de Segmentos de Reta que Passam por Pontos

Problema comum em aulas de geometria: determinar quantas retas podem ser traçadas através de um conjunto de pontos no plano, tomando dois pontos por vez. Não se permite que três pontos do conjunto estejam alinhados. Exemplo simples: três pontos em uma circunferência. Claramente não formam uma reta; nenhuma reta única passa pelos três. Mas três retas podem ser traçadas passando por dois pontos por vez. Uma fórmula simples resolve.

Instruções

1. Desenhe ou suponha que você tem n pontos em um plano. Nenhum trio está alinhado. Você quer saber quantas retas passam por dois pontos por vez.

   Exemplo: uma circunferência com oito pontos, denominados A a H.

2. Escolha um ponto e determine quantos pares ele pode formar. Se há n pontos, a resposta é n-1. Esse é o número de retas que passam por aquele primeiro ponto e outro ponto simultaneamente.

   No exemplo, A pode emparelhar com B, C, D, E, F, G ou H. São sete possibilidades.

3. Vá para o próximo ponto. O emparelhamento com o primeiro já foi contado, mas com os n-2 pontos restantes ainda não. Some n-2 ao n-1 anterior.

   No exemplo, B pode ter reta com C até H. Não conte reta B-A, já contada no passo 2. São seis retas possíveis através de B.

4. Continue o padrão, somando n-3, n-4, e assim por diante. A soma total de retas possíveis é (n-1) + (n-2) + ... + 1. Isso equivale a somar 1 + 2 + ... + (n-1). A fórmula para essa soma é n(n-1)/2.

   No exemplo, n=8, total de retas = 8×7/2 = 28. Verifique somando 7+6+5+4+3+2+1 = 28. Também coincide com n=3: 3×2/2 = 3 retas possíveis.