Come determinare il numero di segmenti di retta passanti per punti dati

Un problema comune nelle lezioni di geometria è determinare quante rette possono essere tracciate attraverso un insieme di punti in un piano, prendendone due alla volta. Nessun trio di punti dell'insieme può giacere su una retta. Un esempio semplice: se hai tre punti su una circonferenza. Chiaramente non formano una retta; nessuna retta passa per tutti e tre. Ma si possono tracciare tre rette che passano per due punti alla volta. Una formula semplice risolve il problema.

Istruzioni

  1. Disegna, o supponi di avere, n punti in un piano. Nessun trio di punti è allineato. Vuoi sapere quante rette passano per due punti alla volta.

    Ad esempio, una circonferenza con otto punti, indicati da A a H.

  2. Scegli un punto e determina in quante coppie può essere incluso. Se ci sono n punti, la risposta è n-1. Questo è il numero di rette che passano per quel primo punto e un altro punto.

    Nell'esempio, A può essere accoppiato con B, C, D, E, F, G, H. Sono sette possibili accoppiamenti.

  3. Passa al punto successivo. Il suo accoppiamento col primo è già contato, ma i suoi accoppiamenti con gli altri n-2 punti no. Aggiungi n-2 al tuo numero precedente n-1 come possibili rette.

    Nell'esempio, B può avere rette che passano per lui e C fino a H. Non conti la retta per B e A, già fatta al passo 2. Quindi le rette possibili per B sono sei.

  4. Continua col pattern, aggiungendo n-3, poi n-4, e così via. La somma totale delle rette possibili è n-1 + n-2 + n-3 + … + 1. Equivale a sommare 1 + 2 + 3 + … + n-1. Si può dimostrare che la formula per 1 + 2 + 3 + … + n-1 è n(n-1)/2.

    Nell'esempio, c'erano otto punti, quindi n=8 dà un totale di n(n-1)/2 = 8×7/2 = 28. Puoi verificare sommando 7 (passo 2) + 6 (passo 3) + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28. Corrisponde anche al caso introduttivo con n=3: 3×2/2 = 3 rette possibili.

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