Miten määrittää pisteiden kautta kulkevien viivojen määrä

Yleinen ongelma geometriakursseilla on määrittää, kuinka monta viivaa voidaan piirtää pistejoukkoon tasossa, kaksi pistettä kerrallaan. Kolme pistettä joukossa ei saa olla samalla suoralla. Yksinkertainen esimerkki on, jos sinulla on kolme pistettä ympyrällä. Selvästi ne eivät muodosta viivaa; yksikään viiva ei kulje kaikkien kolmen kautta. Mutta kolme viivaa voidaan piirtää, jotka kulkevat kaksi pistettä kerrallaan. Yksinkertainen kaava ratkaisee ongelman sinulle.

Ohjeet

  1. Piirrä, tai oletetaan, että sinulla on n pistettä tasossa. Ei kolme pistettä ole samalla suoralla. Haluat tietää, kuinka monta viivaa voidaan piirtää kahden pisteen kerrallaan.

    Esimerkiksi, sinulla voi olla ympyrä kahdeksalla pisteellä, merkitty A–H.

  2. Valitse yksi piste ja määritä, kuinka monessa parissa se voi olla. Jos on n pistettä, vastaus on n-1. Tämä on se määrä viivoja, jotka voivat kulkea ensimmäisen pisteen ja toisen pisteen kautta samanaikaisesti.

    Jatkaessa edellä olevaa esimerkkiä, A voidaan yhdistää B:hen, C:hen, D:hen, E:hen, F:hen, G:hen tai H:hen. Se on seitsemän mahdollista yhdistelmää.

  3. Valitse seuraava piste. Sen parittaminen ensimmäisen pisteen kanssa on jo laskettu, mutta sen parittaminen n-2 muun pisteen kanssa ei ole. Lisää n-2 aiempaan lukuun, n-1, mahdollisina viivoina pisteiden kautta.

    Jatkaessa edellä olevaa esimerkkiä, B voi olla viiva, joka kulkee C:stä H:hen asti. Et laske viivaa, joka kulkee B:n ja A:n kautta, koska olet jo tehnyt sen vaiheessa 2. Joten B:n kautta olevat mahdolliset viivat ovat kuusi.

  4. Jatka kaavaa, lisäten n-3, sitten n-4, ja niin edelleen. Joten mahdollisten viivojen kokonaissumma on n-1 + n-2 + n-3 + … + 1. Tämä on sama kuin summa 1 + 2 + 3 + … + n-1. Voidaan osoittaa, että kaava 1 + 2 + 3 + … + n-1 on n(n-1)/2.

    Jatkaessa edellä olevaa esimerkkiä, oli kahdeksan pistettä, joten n=8 antaa mahdollisten viivojen kokonaismäärän pisteiden kautta n(n-1)/2 = 8*7/2 = 28. Voit varmistaa tämän itse lisäämällä vaiheessa 2 löydetyn 7 vaiheessa 3 löydettyyn 6:een, 5, 4, 3, 2 ja 1 saadaksesi 28. Se vastaa myös johdannossa keskusteltua tulosta, jossa pisteiden määrä oli n=3: n(n-1)/2 = 3*2/2 = 3 mahdollista viivaa.

Previous:

Next: